Elementargeometrie: Fachwissen für Studium und by Ilka Agricola, Thomas Friedrich

By Ilka Agricola, Thomas Friedrich

Das vorliegende Lehrbuch führt in alle unterrichtsrelevanten Themen der Elementargeometrie ein. Es eignet sich als Begleitbuch zur gleichnamigen Vorlesung für Studierende des Lehramts Mathematik sowohl in den Bachelor- als auch in den Staatsexamensstudiengängen. Die beiden letzten Kapitel eignen sich für vertiefende Lehrveranstaltungen und bieten viele mögliche Themen für Seminar- und Studienarbeiten. Die four. Auflage wurde sorgfältig überarbeitet und erweitert. Manche Themenkomplexe sind nun ausführlicher dargestellt worden. Einige Abbildungen geometrischer Modelle wurden ergänzt und die Anzahl der Übungsaufgaben wurde weiter erhöht. Am Ende des Buches findet der Leser Lösungen ausgewählter Aufgaben zu allen Kapiteln; das Buch ist so sehr intestine zur Prüfungsvorbereitung geeignet. Die Autoren bieten darüber hinaus einen besonderen provider an: Jeder Studierende, der beim Lösen der Übungsaufgaben auf Schwierigkeiten stößt, kann sich in step with electronic mail direkt an die Autoren wenden.

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2bc Wir zeigen, dass daraus folgt 2 (∗) sin α = p(p − a)(p − b)(p − c). bc Dazu bemerken wir, dass die Beziehung sin2 α + cos2 α = 1 zun¨achst 4b2 c2 sin2 α = 4b2 c2 − (b2 + c2 − a2 )2 impliziert. Durch zweimalige Anwendung der dritten Binomischen Formel x2 −y 2 = (x + y)(x − y) erhalten wir: 4b2 c2 sin2 α = [2bc + b2 + c2 − a2 ][2bc − b2 − c2 + a2 ] = [(b + c)2 − a2 ][a2 − (b − c)2 ] = [b + c + a][b + c − a][a − b + c][a + b − c]. Nach Definition von p als halbem Dreiecksumfang ergibt sich daraus (∗).

Der Fall, dass einer dieser Punkte außerhalb des Dreiecks liegt, wird dem Leser als Aufgabe 19 (s. Seite 75) u ¨ berlassen. Wir orientieren die im Bild eingezeichneten Strecken wie beim Satz von Ceva, also c1 /c2 = AD/DB usw. Die drei H¨ohen des Dreiecks ergeben sechs rechtwinklige Dreiecke, auf die wir nun den Pythagoras-Satz sechs Mal anwenden k¨onnen: (c1 + c2 )2 = h21 + c23 = h22 + c26 , (c3 + c4 )2 = h22 + c25 = h23 + c22 , (c5 + c6 )2 = h23 + c21 = h21 + c24 . Eliminieren wir die H¨ohen, so folgt (i) (c1 + c2 )2 + c24 = (c5 + c6 )2 + c23 , (ii) (c3 + c4 )2 + c26 = (c1 + c2 )2 + c25 , (iii) (c3 + c4 )2 + c21 = (c5 + c6 )2 + c22 .

Damit liegt PSH auf der durch PH und PMS verlaufenden Strecke. Aus der letzten Gleichung |P ∗ PH | : |P ∗ PMS | = 2 : 1 folgt auch die Behauptung u ¨ ber das Teilungsverh¨ altnis. Eng verbunden mit der Euler’schen Geraden ist der sogenannte Feuerbach’sche Kreis, welcher mitunter auch Neunpunktekreis genannt wird. 3. 8. Der Fl¨ acheninhalt des Dreiecks, die Heron’sche Formel. Wir kommen jetzt zum Fl¨acheninhalt des Dreiecks mit den Seiten a, b, c. Wir gehen davon aus, dass ein elementarer Begriff der Fl¨ache eines Rechtecks als das Produkt seiner beiden Kantenl¨angen vorhanden ist.

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