Die euklidische Ebene und ihre Verwandten by Heinz Lüneburg

By Heinz Lüneburg

Unter Verzicht auf alles Räumliche wird hier die ebene euklidische Geometrie aufgebaut, indem mit der Untersuchung von beliebigen projektiven und affinen Ebenen begonnen, dann aber sehr rasch zu Ebenen übergegangen wird, die von kommutativen Körpern koordinatisiert werden. In affinen Ebenen wird die Mittelpunktsrelation studiert, die erstaunliche Konsequenzen hat, sowie Orthogonalitätsrelationen und das Winkelhalbieren. Ist das Winkelhalbieren immer möglich, so trägt der Koordinatenkörper eineAnordnung, so dass guy schon sehr nahe bei der euklidischen Ebene ist. Kegelschnitte werden ebenfalls gründlich untersucht. Sind Gerade durch innere Punkte stets Sekanten, so impliziert dies ebenfalls die Anordenbarkeit des Koordinatenkörpers und noch mehr, so dass auch dieses uns in die Nähe der Ebene über den reellen Zahlen bringt. Zum Schluss, im siebten Kapitel, wird dann gezeigt, welche geometrischen Eigenschaften dazu dienen können, die reelle Ebene unter allen übrigen affinen Ebenen auszuzeichnen.

Show description

Read Online or Download Die euklidische Ebene und ihre Verwandten PDF

Best geometry books

Porous media : geometry and transports

The aim of "Porous Media: Geometry and Transports" is to supply the root of a rational and smooth method of porous media. This publication emphasizes a number of geometrical buildings (spatially periodic, fractal, and random to reconstructed) and the 3 significant single-phase transports (diffusion, convection, and Taylor dispersion).

Representation Theories and Algebraic Geometry

The 12 lectures provided in illustration Theories and AlgebraicGeometry concentrate on the very wealthy and robust interaction among algebraic geometry and the illustration theories of varied glossy mathematical buildings, resembling reductive teams, quantum teams, Hecke algebras, constrained Lie algebras, and their partners.

Apollonius: Conics Books V to VII: The Arabic Translation of the Lost Greek Original in the Version of the Banū Mūsā

With the booklet of this e-book I discharge a debt which our period has lengthy owed to the reminiscence of an excellent mathematician of antiquity: to pub­ lish the /llost books" of the Conics of Apollonius within the shape that is the nearest we need to the unique, the Arabic model of the Banu Musil. Un­ til now this has been obtainable merely in Halley's Latin translation of 1710 (and translations into different languages fullyyt depending on that).

Non-Linear Viscoelasticity of Rubber Composites and Nanocomposites: Influence of Filler Geometry and Size in Different Length Scales

Advances in Polymer technological know-how enjoys a longstanding culture and sturdy acceptance in its group. every one quantity is devoted to a present subject and every evaluation severely surveys one element of that subject, to put it in the context of the quantity. The volumes often summarize the numerous advancements of the final five to ten years and talk about them significantly, proposing chosen examples, explaining and illustrating the real ideas and bringing jointly many very important references of fundamental literature.

Extra info for Die euklidische Ebene und ihre Verwandten

Sample text

19 ferner V E 7r und V i= U. Schließlich sei 1 i= h E V. Weil '" injektiv ist, ist dann h1/ i= 1. Hieraus folgt h1/g' ~ U, da ja sonst h1/ E U n V = {I} wäre. Es gibt also ein eindeutig bestimmtes W E 7r mit W i= U und h1/g' E W. Wegen W i= U ist W n Uh i= 0. Es gibt also ein x E W n Uh. Ferner gibt es ein 9 E U mit x = gh. Nun ist x1/ E W1/ nU1/h1/ ~ WnUh1/. Weil h1/g' E Wund g' E U ist, ist {h1/g'} = W n Uh1/. ) Also ist x1/ = h1/g'. Insgesamt erhalten wir, daß ist. Hieraus folgt schließlich g1/ = g', so daß '" surjektiv ist.

Beweis. Der Kern von 7r(G) ist ein endlicher Körper, also kommutativ nach dem Satz von Wedderburn. 2 auch r(l, goo) zyklisch. 5. Korollar. Ist 11 eine endliche desarguessche projektive Ebene und ist (P, g) ein nicht inzidentes Punkt-Geradenpaar von 11, so ist r(p, g) zyklisch. Beweis. 5 folgt, daß II g eine Translationsebene ist, so daß wir IIg in der Form 7r(G) darstellen können. 4. Es gibt nun eine Translation T mit 1T = P. Daher ist wegen auch die Gruppe r{P,g) zyklisch, q. e. d. 6. Satz. Es sei A eine Translationsebene, T ihre Translationsgruppe und G ihre volle Kollineationsgruppe.

L eine injektive Abbildung von L(V) in L(V*) mit der Eigenschaft: Sind X, Y E L(V), so gilt genau dann X ~ Y, wenn Y~ ~ X~ ist. Beweis. l eine Abbildung von L(V) in L(V*) ist. l injektiv ist. Es seien nun X, Y E L(V). 1. Es sei also Y~ ~ X~. 3, daß X=X~T~y~T=y ist, q. e. d. l etwa auch surjektiv ist. Dies ist im allgemeinen nicht der Fall. l genau dann surjektiv ist, wenn V endlichen Rang hat. l sicher dann surjektiv ist, wenn V endlichen Rang hat. Eine vollständigere Diskussion findet sich z. B.

Download PDF sample

Rated 4.87 of 5 – based on 34 votes