By Heinz Lüneburg
Unter Verzicht auf alles Räumliche wird hier die ebene euklidische Geometrie aufgebaut, indem mit der Untersuchung von beliebigen projektiven und affinen Ebenen begonnen, dann aber sehr rasch zu Ebenen übergegangen wird, die von kommutativen Körpern koordinatisiert werden. In affinen Ebenen wird die Mittelpunktsrelation studiert, die erstaunliche Konsequenzen hat, sowie Orthogonalitätsrelationen und das Winkelhalbieren. Ist das Winkelhalbieren immer möglich, so trägt der Koordinatenkörper eineAnordnung, so dass guy schon sehr nahe bei der euklidischen Ebene ist. Kegelschnitte werden ebenfalls gründlich untersucht. Sind Gerade durch innere Punkte stets Sekanten, so impliziert dies ebenfalls die Anordenbarkeit des Koordinatenkörpers und noch mehr, so dass auch dieses uns in die Nähe der Ebene über den reellen Zahlen bringt. Zum Schluss, im siebten Kapitel, wird dann gezeigt, welche geometrischen Eigenschaften dazu dienen können, die reelle Ebene unter allen übrigen affinen Ebenen auszuzeichnen.
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19 ferner V E 7r und V i= U. Schließlich sei 1 i= h E V. Weil '" injektiv ist, ist dann h1/ i= 1. Hieraus folgt h1/g' ~ U, da ja sonst h1/ E U n V = {I} wäre. Es gibt also ein eindeutig bestimmtes W E 7r mit W i= U und h1/g' E W. Wegen W i= U ist W n Uh i= 0. Es gibt also ein x E W n Uh. Ferner gibt es ein 9 E U mit x = gh. Nun ist x1/ E W1/ nU1/h1/ ~ WnUh1/. Weil h1/g' E Wund g' E U ist, ist {h1/g'} = W n Uh1/. ) Also ist x1/ = h1/g'. Insgesamt erhalten wir, daß ist. Hieraus folgt schließlich g1/ = g', so daß '" surjektiv ist.
Beweis. Der Kern von 7r(G) ist ein endlicher Körper, also kommutativ nach dem Satz von Wedderburn. 2 auch r(l, goo) zyklisch. 5. Korollar. Ist 11 eine endliche desarguessche projektive Ebene und ist (P, g) ein nicht inzidentes Punkt-Geradenpaar von 11, so ist r(p, g) zyklisch. Beweis. 5 folgt, daß II g eine Translationsebene ist, so daß wir IIg in der Form 7r(G) darstellen können. 4. Es gibt nun eine Translation T mit 1T = P. Daher ist wegen auch die Gruppe r{P,g) zyklisch, q. e. d. 6. Satz. Es sei A eine Translationsebene, T ihre Translationsgruppe und G ihre volle Kollineationsgruppe.
L eine injektive Abbildung von L(V) in L(V*) mit der Eigenschaft: Sind X, Y E L(V), so gilt genau dann X ~ Y, wenn Y~ ~ X~ ist. Beweis. l eine Abbildung von L(V) in L(V*) ist. l injektiv ist. Es seien nun X, Y E L(V). 1. Es sei also Y~ ~ X~. 3, daß X=X~T~y~T=y ist, q. e. d. l etwa auch surjektiv ist. Dies ist im allgemeinen nicht der Fall. l genau dann surjektiv ist, wenn V endlichen Rang hat. l sicher dann surjektiv ist, wenn V endlichen Rang hat. Eine vollständigere Diskussion findet sich z. B.