By Christian Blanchet [Lecture notes]
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Lecture notes, M1, Paris-Diderot (Paris 7), 2011-2012
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Sous l. a. pleine lune de février, los angeles meute de loups, en cercle, imite son chef qui pointe le museau vers le ciel, hurlant une longue plainte angoissée. Un appel répond à ce cri : bientôt, au milieu de los angeles clairière, surgit Berg, un mâle superbe. Après un strive against sanglant, Berg s'en retourne avec Silva, los angeles plus belle des louves.
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Le polynˆome g´en´erique sur K est s´eparable et son groupe de Galois est isomorphe au groupe sym´etrique Sn . D´emonstration. On ´etudie l’extension (K(X1 , . . , Xn ) : K(X1 , . . , Xn )sym ). Toute permutation des variables s’´etend en un automorphisme du corps K(X1 , . . , Xn ) qui est l’identit´e sur K(X1 , . . , Xn )sym . Les corps K(y1 , . . , yn ) et K(X1 , . . , Xn )sym sont isomorphes. On obtient que K(X1 , . . , Xn ) est corps de d´ecomposition du polynˆome s´eparable P , et l’action Gal(P ) → B({X1 , .
B) Un module est de torsion si et seulement si tous ses ´el´ements sont de torsion. 2. 1. Dans un groupe ab´elien les ´el´ements de torsion sont ceux d’ordre fini. 2. Le Z-module Q/Z est de torsion. 3. Soit M un module sur un anneau commutatif A. L’ensemble de ses ´el´ements de torsion forme un sous-module (de torsion) Tors(M ). 1. Tout sous-module d’un module libre sur un anneau principal est libre. 1. Un module est de type fini si et seulement s’il admet une partie g´en´eratrice finie. 2. Le rang d’un A-module de type fini est le maximum des cardinaux des parties libres.
9. D´ecrire les classes de conjugaison dans A5 , et d´eduire une preuve de la simplicit´e de A5 . 1 D´ efinitions de base Soit A un anneau. 1. v = v. Un module sur un corps est un espace vectoriel. 2. 1. Un anneau A est un module sur lui-mˆeme ; une alg`ebre sur A est aussi un module. 2. Un groupe ab´elien est un module sur Z. 3. Un sous-module d’un A-module M est un sous-groupe ab´elien qui est stable pour l’op´eration externe. 4. Les sous-modules de l’anneau A, vu comme module a` gauche sur lui-mˆeme sont les id´eaux `a gauche.