Computer-Algebra by Bruns W.

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Man sagt, r sei die Normalform von f . Polynome in n Ver¨anderlichen. 1 entsprechend zu verallgemeinern. Zuerst werden dazu Polynomringe etwas formaler eingef¨uhrt. Sei dazu ab jetzt stets R ein kommutativer Ring mit Eins. N / D ff W Nn ! a/ ¤ 0 f¨ur nur endlich viele a 2 Nn . N / zu einem kommutativen Ring, wie man ohne M¨uhe nachrechnet. a/ D 0 f¨ur fast alle a. N / enth¨alt R kanonisch als Unterring: Die Zuordnung r 7! N / ist ein injektiver Ringhomomorphismus. N / auf. N / , die sich als die vertrauten Variablen des Polynomrings RŒX1 ; : : : ; Xn  herausstellen werden.

F / gelten f¨ur mindestens ein i. f /. 3. Jede Gr¨obner-Basis eines Ideals I KŒX1 ; : : : ; Xn  ist ein Erzeugendensystem von I . Insbesondere ist I endlich erzeugt. Wir nennen dabei eine Teilmenge E des Ideals I im Ring R ein Erzeugendensystem, wenn sich jedes Element von I als Linearkombination von Elementen aus E mit Koeffizienten aus R schreiben l¨aßt. xk /k2M eine Familie von Elementen von R. xk W k 2 M / traditionell (auch) das von den xk erzeugte Ideal, also das kleinste Ideal, das alle xk enth¨alt.

Damit diese Folgen auch konvergieren, muß man R bez¨uglich der m-adischen Metrik komplettieren. Liften des Zerlegungsbaums. Wir haben oben gesehen, wie man eine Zerlegung f Á gh mod m zu einer Zerlegung f Á g h mod m2 und gleichzeitig eine Darstellung 1 D sg C th mod m zu einer Darstellung 1 D s g C t h mod m2 liftet. Es ist noch zu kl¨aren, wie man eine Zerlegung in mehrere Faktoren behandelt. Sei p eine Primzahl, f 2 ZŒX  ein quadratfreies, primitives Polynom, dessen Leitkoeffizient b nicht von p geteilt wird und das auch modulo p quadratfrei ist.

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