Analysis by Theodor Bröcker

By Theodor Bröcker

Broecker T. research 1 (2ed., Spektrum, 1995)(de)(ISBN 3860254189)(1s)_MCet_

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Aus der Ungleichung im Cauchy-Kriterium folgt u ¨brigens |am+k − am+ | < 2ε. Daher h¨atte man, statt |am+k − am | < ε , auch |ak − a | < ε f¨ ur alle k, > m setzen k¨onnen, was man auch oft findet. 13) Cauchy-Kriterium f¨ ur Reihen. Eine Reihe n=0 cn ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem ε > 0 ein m ∈ N gibt, sodaß f¨ ur alle k ∈ N m+k cn n=m < ε. ¨ tze § 2. 14) Absolute Konvergenz. Eine Reihe k=0 ck heißt absolut ∞ konvergent, wenn die Reihe der Betr¨age k=0 |ck | konvergiert. Eine absolut konvergente Reihe ist konvergent.

Ihr Konvergenzverhalten lehrt auch viel u ¨ber beliebige Reihen, wie wir bald sehen werden. 9) Leibniz-Kriterium. Ist (ak ) eine positive monoton fallende ∞ Folge, so heißt die Reihe k=0 (−)k ak alternierend. Sie konvergiert genau wenn (ak ) eine Nullfolge ist. H n k Beweis: Sei An = k=0 (−) ak die n-te Partialsumme. schreiben kurz (−)k := (−1)k . Es gilt: (i) (ii) (iii) (iv) A2n ≥ A2n − a2n+1 + a2n+2 = A2n+2 , A2n+1 ≤ A2n+1 + a2n+2 − a2n+3 = A2n+3 , A2n ≥ A2n − a2n+1 = A2n+1 , A2n − A2n+1 = a2n+1 → 0 .

Dann ist a − f (x) = 0, also −1 a − f (x) stetig auf K und nicht beschr¨ankt, weil ja die Werte f (x) ihrem Supremum a beliebig nahe kommen. Das widerspricht der ersten Aussage. Die Beschr¨anktheit nach unten und die Aussage u ¨ber das Minimum folgen analog. Die Funktion x → 1/x ist auf dem Intervall (0, 1] unbeschr¨ankt; die Kompaktheit ist wesentlich. 10). 5) Zwischenwertsatz. Eine stetige Funktion f : [a, b] → R nimmt jeden Wert zwischen f (a) und f (b) an. O § 3. Stetige Funktionen f (b) c f (a) a p 59 b Beweis: Sei etwa f (a) < c < f (b), und wir wollen zeigen, daß f den Wert c annimmt.

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