Algèbre Locale Multiplicités: Cours au Collège de France, by Jean-Pierre Serre (auth.)

By Jean-Pierre Serre (auth.)

Chapitre I. 1DIAUX PIlEMIEIS IT LOCALISATION I I. Wotationa et definitions I 2. Lemme de Bakay. . . . 2 three. Localisation • • • four. Anneaux et 80dules noethiriens 2 five. Spectre•••••• three four 6. Le cas noetherien. four 7. Ideaux pre. iers associe. Chapitre eleven. OUTILS IT SOUTES A) Filtr·ations et graduations. eight I. Anneaux et modules filtres • eight 2. Topologie definie par UDe filtration nine 10 three. Coapletion des modules filtres • • • II four. Anneaux et modules graduis • • • • • five. au tout redevient noethirien; filtrations ~-adiques. 15 20 6. Modules differentiels filtres•••••••••••• B) Polynoaes de Hilbert-SamueL ••••••••••• 26 I. Rappel sur les polynOmes Ii valeurs entieres•••• 26 27 2. Fonctions ingredients sur les different types de modules. 29 three. Le polynOme caractiristique de Hilbert 32 four. Les invariants de Hilbert-Samuel Chapitre 111. T1I£ORlE DE l. a. DDlE!ISION A) size des extensions. entieres. 38 I. Definitions. • • • • • • • • • • • • 38 2. Le leading theore- de Cohen-Seidenberg. 39 three. Le moment theoreme de Cohen-Seidenberg • 4I B) measurement dans les anneaux noetheriens. forty three I. measurement d'un module. • • • forty three 2. Le cas semi-local noetherien forty four three. Syste. es de parametres forty seven C) Anneaux normaux forty eight I. caracterisation des anneaux normaux. forty eight 2. Proprietes des anneaux noraaux fifty one three. Fermeture integrale. fifty three D) Anneaux de polynomes. • • • • • fifty four I.

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Sous l. a. pleine lune de février, los angeles meute de loups, en cercle, imite son chef qui pointe le museau vers le ciel, hurlant une longue plainte angoissée. Un appel répond à ce cri : bientôt, au milieu de l. a. clairière, surgit Berg, un mâle superbe. Après un strive against sanglant, Berg s'en retourne avec Silva, l. a. plus belle des louves.

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T. ~ 1 37 .. r. ,n) 1 5 III-1 CHAPITRE THEORIE DE LA DIMENSION II I A - DIMENSION DES EXTENSIONS ENTIERES 1. Definitions. A un anneau (commutatif, a element unite). On appelle Soit A toute suite finie croissante chaine d'ideaux premiers dans Eo C E1 C ••• C. Er ( 1) d'ideaux premiers de L'entier r A , telle que Ei r Ei+1 pour 0' s'appelle la longueur de la chaine; l'ideal i , r-1 Eo (resp. Er ) s'appelle son origine (resp. son extremite); on dit parfois que la chaine (1) joint Eo Er Les chaines d'origine de l'anneau A/Eo correspondent a Eo d'origine correspondent bijectivement aux chaines (0) ; de m@me, celles d'extremite celles de l'anneau local Er d'extremite l'ideal maximal de cet anneau.

L!. lt') , coht(~ ')coht(~') • n'est contenu dans aucun des ideaux premiers minimaux de ~ coht(~ ~ coht(~') + 1 • 2. Le premier theoreme de Cohen-Seidenberg. Soit B un anneau contenant que tout element x de A et ~ B verifie une sur an 39 :z • Cela signifie "equation de dependance inte- grale": + ••• + A 0 , avec II1-3 Lemme 1. Supposons il suffit que Si B integre. Pour que ce soit un corps, 11 faut et A en soit un. A est un corps, tout integre de type fini sur XE. 1), d'ou Ie resultat. Supposons que de A • Soit B soit un corps, et soit x son inverse dans B a un element non nul • L'element x verifie une equation (4), d'ou et l'on a xEA ,oqfd.

B/a tous les A£ ht(p) .. 1 un element de ' pour , et d'apres (b) ht(p) .. 1 K le K ; suppoon a ceci entralne b ':aA , , pour ht(f) .. 1 • Comme les f sont normaux, il en est de mame de leur intersection, cqfd. x €A • Ainsi, on a A .. nA verifies, et soit 50 1II-14 Remarque: equivaut a Corollaire: hauteur La demonstration precedente montre que la condition (b) la formule Si de A A pen). P sont les , definies par la formule (n ~ 1) • En effet, les ideaux £-primaires de A correspondent bijective- , lesquels sont evidemment PoA -primaires de A Po f est un anneau de valu~tion fnA£ n :> 1 ,puisque ment aux ideaux de la forme discrete.

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