Algèbre 1 [Lecture notes] by Olivier Debarre

By Olivier Debarre

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Le morphisme FK est injectif (x p = 0 entraîne x = 0) mais pas nécessairement surjectif (si c’est le cas, on dit que le corps K est parfait). – Si K est un corps fini, φ ne peut être injectif, donc p = car(K) > 0. Le corps K est alors un Fp -espace vectoriel, nécessairement de dimension finie d , d’où |K| = p d . Le morphisme de Frobenius FK , étant une application injective entre ensembles finis de même cardinal, est bijectif. Le groupe multiplicatif (K× , ×) étant d’ordre q −1, le théorème de Lagrange fournit q−1 x = 1 pour tout x ∈ K× , donc x q = x pour tout x ∈ K, c’est-à-dire que FdK est l’identité de K.

19). 10. — Soit G un groupe abélien de type fini et soit f : G → G un morphisme surjectif. Le but de cet exercice est de démontrer que f est un isomorphisme. Soit T(G) ≤ G le sous-groupe de torsion de G. a) Montrer que f induit un morphisme surjectif fˆ : G/T(G) → G/T(G). b) Montrer que fˆ est un isomorphisme. c) En déduire que f est un isomorphisme. 3. 5. 3. — Commençons par l’unicité des entiers d i (10) . On remarque que d 1 est le pgcd (positif) de tous les coefficients de A ; en effet, le pgcd des coefficients de A divise tous les coefficients de PAQ et inversement, le pgcd des coefficients de PAQ divise tous les coefficients de A = P −1 (PAQ)Q−1 .

En déduire (ii). 11. — Soit G un groupe nilpotent. Montrer que le produit de deux éléments de G n d’ordre fini est d’ordre fini. Plus précisément, si x m = y m = e et Cn (G) = {e}, on a (x y)m = e (Indication : on pourra procéder par récurrence sur n). 8. Croissance des groupes de type fini L’exerc. 10 ci-dessus montre qu’en un certain sens, les groupes nilpotents finis ne sont pas très intéressants. Nous allons voir dans cette section que la théorie des groupes nilpotents infinis est beaucoup plus riche.

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