Álgebra Lineal y sus Aplicaciones by DAVID C. LAY

By DAVID C. LAY

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Álgebra Lineal y sus Aplicaciones

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Esta situación contrasta con la del ejemplo 3. 3. Es fácil comprobar si una lista específica de números es una solución. 4/ C 2. 4/ C 9. 4/ 3. 2/ D 21 C 20 C 6 D 5 (3, 4, –2) Como (3, 4, Ϫ2) satisface las dos primeras ecuaciones, está sobre la recta de intersección de los primeros dos planos. Puesto que (3, 4, Ϫ2) no satisface las tres ecuaciones, se concluye que no pertenece a los tres planos. Aunque las primeras dos ecuaciones se satisfacen, no sucede lo mismo con la tercera, por lo que (3, 4, Ϫ2) no es una solución del sistema.

Cada diferente asignación de x3 y x4 determina una solución distinta. Por lo tanto, el sistema tiene un número infinito de soluciones. ■ Cuando un sistema está en forma escalonada y no contiene ecuaciones del tipo 0 ϭ b, con b diferente de cero, entonces cada ecuación no nula tiene una variable básica con un coeficiente distinto de cero. Es posible que las variables básicas estén completamente determinadas (sin variables libres) o que al menos una de las variables básicas pueda expresarse en términos de una o más variables libres.

Cuando un sistema es inconsistente, el conjunto solución es un conjunto vacío, aun cuando el sistema tenga variables libres. En este caso, el conjunto solución no tiene representación paramétrica. Sustitución regresiva Considere el siguiente sistema, cuya matriz aumentada está en forma escalonada, pero no en forma escalonada reducida: x1 7x2 C 2x3 5x4 C 8x5 D 10 x2 3x3 C 3x4 C x5 D 5 x5 D 4 x4 Un programa computacional resolvería este sistema mediante sustitución regresiva, en vez de calcular la forma escalonada reducida.